Теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов 

Александр Иванович Фомин, кандидат физико-математических наук, доцент, независимый исследователь (Россия, г. Москва), fomin45@mail.ru
Вера Ивановна Титаренко, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики, Институт информационных систем,  Государственный университет управления (Россия, г. Москва, Рязанский проспект, 99), vera_xmel@mail.ru

Актуальность и цели. Дифференциальные связи между решениями систем дифференциальных уравнений играют существенную роль в математике и в математической физике. Большое значение имеют порожденные такими связями операторы и алгебры дифференциальной симметрии линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Условия совпадения внутренних и внешних алгебр дифференциальной симметрии приводят к понятию теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов. Цель работы: дать четкое определение понятия теоремы о нулях для семейства возможных, в частности формальных, решений системы уравнений, доказать общую теорему о делении линейных дифференциальных операторов для семейства формальных решений. Материалы и методы. Вводятся необходимые обозначения и понятия. Дается определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов, поясняется аналогия с теоремой Гильберта. Обсуждаются установленные ранее условия, эквивалентные теореме о нулях, связь с условиями совпадения внешних и внутренних алгебр дифференциальной симметрии. При доказательстве формальной теоремы о делении линейных дифференциальных операторов используются элементы теории линейных локально выпуклых пространств. Результаты. Понятие теоремы о нулях распространяется на семейство линейных пространств возможных решений системы дифференциальных уравнений, определяются глобальные, локальные и формальные теоремы о нулях. Доказывается теорема об условиях, эквивалентных теореме о нулях. Вводится общее понятие деления линейных дифференциальных операторов, формулируется и доказывается формальная теорема о делении, в которой коэффициенты возникающего в результате линейного дифференциального оператора могут быть произвольными функциями. Выводы. Результаты, полученные в работе, могут служить основой для доказательства ряда теорем о нулях линейных дифференциальных операторов, в частности, формальных теорем над кольцом бесконечно дифференцируемых функций.

Ключевые слова

линейный дифференциальный оператор, кольцо коэффициентов, однородное уравнение, алгебра дифференциальной симметрии, теорема о нулях, локально выпуклое пространство

 Скачать статью в формате PDF

Для цитирования:

Фомин А. И., Титаренко В. И. Теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 18–34. doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-2